The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

Marquis aliyefanya hisabati kuhusu demokrasia

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet (1743–1794), alikuwa muumini mwenye kujitolea zaidi wa Enlightenment katika wazo kwamba mambo ya kibinadamu yanaweza kufikiriwa kwa ukali sawa na fizikia. Mhandisi wa hisabati aliyechaguliwa katika Académie des sciences akiwa na umri wa makumi, pia alikuwa — kwa kawaida kwa karne yake na daraja lake — mtetezi wa mapema na mwenye sauti wa elimu ya umma bure, haki za wanawake, na kuondolewa kwa utumwa. Wakati wenzake walijadili ikiwa watu wa kawaida wanapaswa kuongoza, Condorcet aliuliza swali la kigeni na lenye tija: katika hali zipi hukumu yao ya pamoja itakuwa sahihi?

Jibu lake lilionekana mwaka 1785 katika Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — “Insha juu ya Maombi ya Uchambuzi kwa Uwezekano wa Maamuzi ya Wengi.” Imefichwa katika hesabu zake nzito za uwezekano ni matokeo ya urahisi wa kushangaza na nguvu, ambayo sasa inajulikana kama Theoremu ya Juri ya Condorcet.

Hadithi ya mtu inamalizika kwa giza. Condorcet alisaidia Mapinduzi, alitunga katiba, na kisha akakumbana na Hofu. Alipigwa marufuku mwaka 1793, alijificha katika nyumba ya wageni ya Paris na — akikabiliwa na kifo — aliandika kazi yake yenye matumaini zaidi, Sketch for a Historical Picture of the Progress of the Human Mind. Alikamatwa mwezi Machi 1794 baada ya kutoroka mahali pake pa kujificha, na alikutwa amekufa katika seli yake huko Bourg-la-Reine siku mbili baadaye. Mhandisi wa hekima ya pamoja aliuawa na kundi ambalo lilikuwa limeacha kusikiliza sababu — dhihaka ambayo hakuna mwanahistoria wa kipindi anayeweza kupuuza.

Theoremu, kwa Kiingereza rahisi

Ondoa alama za karne ya kumi na nane na theoremu inasema hivi:

Chukua swali la ndiyo/hapana ambalo lina jibu sahihi. Ikiwa kila mtu katika kundi ana uwezekano zaidi ya bahati ya kupata sahihi, na kila mmoja hukumu kwa uhuru, basi uwezekano kwamba wengi wanapata sahihi unakua kadri kundi linavyokua — na unakaribia uhakika kadri kundi linavyokuwa kubwa.

Intuition ni kufuta makosa. Kila mpiga kura ni ishara pamoja na kelele. Kwa sababu kila mtu ni sahihi mara nyingi zaidi kuliko makosa, ishara inaelekeza njia moja kwa kila mtu, wakati kelele inatawanyika kwa bahati. Makosa ya mtu binafsi hayahusiani na kupiga sarafu; nafaka ya ukweli inakusanya. Kura za wengi ni mashine ya kuruhusu kelele kufutwa na ishara kujumlishwa — hisabati hiyo hiyo nyuma ya hekima ya umati, ambayo baadaye ingefanya wahudhuriaji 787 wa haki kuamua kwa pamoja zaidi ya wataalamu wa ng'ombe katika jaribio la ng'ombe la Galton, lililotumika kwa kura badala ya makadirio.

Nambari: jinsi wengi wanavyokuwa na akili haraka

Nguvu ya theoremu ni rahisi kuhisi kwa nambari halisi. Fikiria kila mtu anajibu swali la binary kwa usahihi 60% ya wakati — nzuri lakini mbali na mtaalamu. Uwezekano kwamba wengi wa kundi wanajibu kwa usahihi:

Soma safu ya 60% chini: watu watatu kwa shida wanaongeza kidogo zaidi ya mmoja; watu kumi na moja ni bora kwa maana; watu mia moja na moja ni sahihi 97.9% ya wakati; watu mia tano na moja ni karibu wasiyoweza kukosea. Hata kidogo cha ujuzi wa mtu binafsi — safu ya 51% — inajumuisha bila kukoma na ukubwa: karibu 58% kwa kundi la 101, takriban 74% kwa wapiga kura elfu moja, na karibu 98% kwa elfu kumi. Hukumu ya mtu binafsi isiyo bora, ikiwa imejumuishwa kwa usahihi, inazalisha hukumu bora ya pamoja. Hiyo ndiyo uso wa matumaini wa theoremu.

Mapacha mweusi: wakati p inashuka chini ya nusu

Sasa soma safu ya 45%. Hisabati hiyo hiyo inayofanya umati wenye ujuzi kuwa karibu wasiyoweza kukosea inafanya umati usio na ujuzi kuwa karibu wasiyoweza kukosea makosa. Ikiwa kila mtu binafsi ni sahihi tu 45% ya wakati — akielekezwa kwa mfumo kuhusu swali hili maalum — wengi wa 101 ni sahihi tu 15.6% ya wakati, na wengi wa 501 karibu 1.2% ya wakati. Kuunganisha hakuhifadhi hukumu mbaya; inazidisha. Kundi kubwa linaloshiriki dhana potofu litakuwa sahihi kwa ujasiri zaidi kuliko wanachama wake wowote.

Hii ni nusu ya theoremu ambayo mara chache inaingia katika sherehe za hekima ya umati, na ina makali makali ya vitendo. Ikiwa ukubwa wa kundi ni mali au mzigo inategemea kabisa upande upi wa mstari wa 50% wanachama wake wapo kwa swali lililopo — ndiyo maana habari potofu, na mazingira ya vyombo vya habari yanayounda usahihi wa mtu binafsi, si suala la pembeni kwa maamuzi ya pamoja bali suala kuu. Ukubwa unapanua chochote unachokipatia.

Masharti — na nini kinavunjika wanapovunjika

Theoremu ni kauli ya kama-kisha, na kila kitu cha kuvutia kuhusu kuitumia kinaishi katika "kama." Masharti manne yanabeba matokeo:

Karne mbili na nusu za masomo zimejaribu kila sharti. Grofman, Owen na Feld's “Thirteen theorems in search of the truth” (Theory and Decision, 1983) ilionyesha matokeo yanadumu na ujuzi tofauti — wapiga kura hawahitaji kuwa na usahihi sawa; chini ya hali za usambazaji zinazofaa, usahihi wa wastani zaidi ya nusu unatosha. Krishna Ladha (1992) alikabiliana na uhusiano na aligundua kwamba kura zinazohusiana zinapunguza dhamana bila kila wakati kuharibu: ukubwa halisi wa umati unaohusiana ni mdogo kuliko idadi yake, kwa sababu kura zilizokopwa zinaongeza ushirikiano wa kelele badala ya habari mpya.

Katika mazoezi, uhuru ndiyo sharti linalovunjika kwanza na kwa nguvu. Wakati maoni ya mapema yanaonekana, wapiga kura wa baadaye kwa busara wanapunguza habari zao wenyewe na kufuata — mfuatano wa habari — na wakati kila mtu anatumia vyanzo vichache, kura zinahusiana hata bila mtu yeyote kunakili mtu mwingine. Wapiga kura milioni wakisoma feed ile ile wanaweza kubeba uzito wa habari wa kundi dogo huru. Theoremu haishindwi kwa urahisi; inashindwa kimya, wakati kundi bado huhisi kama wengi wakubwa, wenye ujasiri.

Mizunguko: paradoks ambayo Condorcet pia aligundua

Insha hiyo hiyo ya mwaka 1785 Essai ina ugunduzi wa pili, wa kutisha zaidi. Ikiwa kuna chaguzi tatu au zaidi, mapendeleo ya wengi yanaweza kuzunguka: kundi linaweza kupendelea A dhidi ya B, B dhidi ya C, na bado C dhidi ya A, ingawa mapendeleo ya kila mtu binafsi ni ya kawaida kabisa. Hii paradoks ya Condorcet inamaanisha “mapenzi ya wengi” yanaweza kutokuwepo kama orodha iliyo wazi — chaguo gani linashinda linaweza kutegemea mpangilio wa kura zinavyofanywa.

Ukatika huo katika utawala wa wengi ukawa msingi wa uwanja mzima. Mwaka 1951, Kenneth Arrow alifanya jumla yake kuwa theoremu yake ya kutowezekana: hakuna mfumo wa kupiga kura unaotegemea orodha unaweza kutimiza orodha fupi ya masharti ya haki kwa wakati mmoja. Nadharia ya uchaguzi wa kijamii — jinsi mifumo ya kupiga kura inavyounganisha mapendeleo, tofauti na jinsi majuri yanavyounganisha hukumu na masoko yanavyounganisha imani — ni somo ambalo tutarudi nalo kwa haki yake. Kwa sasa, maadili ya vitendo: theoremu ya juri inang'ara kwenye maswali ya ukweli yenye majibu sahihi; wakati maamuzi yanahusiana na thamani zinazoshindana badala ya ukweli zinazoshindana, mashine tofauti (na hisabati tofauti) inatumika.

Miaka 240 ya matumizi

Kwa kipande cha uwezekano wa karne ya kumi na nane, theoremu imezeeka vizuri sana:

Matumizi ya kujifunza kwa mashine yanastahili kuangaliwa tena, kwa sababu yanaonyesha theoremu ikifanya kazi kama ramani ya uhandisi badala ya taswira. Msitu wa nasibu unafundisha kwa makusudi kila mti kwenye sampuli ya nasibu ya data na vipengele — si kuboresha mti wowote mmoja (inawafanya kuwa mbaya), bali kufanya makosa yao yasiwe na uhusiano. Kukubali watu dhaifu ili kununua uhuru ndiyo biashara ambayo theoremu ya juri inapendekeza, na usahihi wa kundi ni malipo. Timu zinazounda mekanismu za utawala wa DAO zinakabiliwa na tatizo sawa la muundo kinyume: kupiga kura kwa uzito wa token kunakusanya ushawishi, na hesabu zinazonekana hadharani zinakaribisha kuungana — zote ambazo zinapunguza juri linalofanya kazi.

Nini theoremu haiwezi kufanya — na nini kinapaswa kutokea kabla ya kura

Theoremu ya juri inasimamia wakati mmoja katika maisha ya uamuzi: hatua ya kujumlisha, wakati hukumu za mtu binafsi zinakuwa hukumu ya pamoja. Haizungumzii kila kitu kilichokuwa juu — jinsi swali lilivyowekwa, ni chaguzi zipi zilifika kwenye karatasi ya kupigia kura, ni habari gani wapiga kura waliona — na kila kitu kilichokuwa chini. Kura iliyojumuishwa kwa usahihi kwenye swali lililowekwa vibaya inatoa jibu bora kwa tatizo mbaya.

Pia, kwa muundo, inatupa sababu. Kura inarekodi kwamba watu arobaini walipendelea chaguo A, kamwe kwa nini — hivyo pingamizi kali la wachache linatoweka, mantiki ya wengi haiwezi kukaguliwa baadaye, na kundi halijifunzi chochote kinachoweza kuhamasishwa kwa uamuzi ujao. Hapa ndipo majadiliano yaliyopangwa yanakamilisha kujumlisha badala ya kushindana nayo. Katika maamuzi ya ushirikiano yaliyofanywa vizuri, kundi kwanza linaibua hoja kwa uhuru — kuhifadhi uhuru ambao theoremu inahitaji — kisha kuzikadiria wazi, na kisha kuungana.

Argumentree imejengwa kuzunguka hasa mfuatano huo. Washiriki wanachangia hoja za pro na con kwa uhuru na kwa wakati tofauti, kabla ya mtu yeyote kuanzisha chumba — kulinda sharti linalobeba uzito la theoremu. Kila hoja kisha inakadiria kwenye vipimo wazi (msaada, uwazi, usahihi, ukamilifu), na viwango vinajumuishwa katika alama za makubaliano: hisabati ya Condorcet ya kufuta makosa, iliyotumika kwa ubora wa sababu badala ya tu idadi ya kura. Na tofauti na sanduku la kura, miti kamili ya hoja na njia ya ukaguzi inahifadhi kwa nini kundi lilifanya uamuzi — ili uamuzi uweze kufafanuliwa, kutazamwa tena, na kujifunzwa kutoka. Marquis alitoa hisabati ya kuamini wengi; miaka mia mbili na arobaini baadaye, kazi iliyobaki ni kuhakikisha hukumu ya wengi ni huru, iliyo na habari, na kwenye rekodi.