The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

Marquis đã làm toán về dân chủ

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet (1743–1794), là người tin tưởng nhất vào thời kỳ Khai sáng rằng các vấn đề của con người có thể được lý luận với cùng một độ chặt chẽ như vật lý. Là một nhà toán học xuất sắc được bầu vào Académie des sciences khi còn trẻ, ông cũng — không giống như nhiều người cùng thời và tầng lớp của mình — là một người ủng hộ sớm và mạnh mẽ cho giáo dục công cộng miễn phí, quyền bầu cử của phụ nữ, và sự bãi bỏ chế độ nô lệ. Trong khi các đồng nghiệp của ông tranh luận về việc liệu người bình thường nên cai trị hay không, Condorcet đã đặt ra một câu hỏi lạ lùng và hiệu quả hơn: trong những điều kiện nào thì phán quyết tập thể của họ thực sự đúng?

Câu trả lời của ông xuất hiện vào năm 1785 trong Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — “Bài luận về Ứng dụng của Phân tích vào Xác suất của các Quyết định Đa số.” Chôn vùi trong các phép tính xác suất dày đặc của nó là một kết quả đơn giản và mạnh mẽ, giờ được biết đến với tên gọi Định lý Bồi thẩm đoàn Condorcet.

Câu chuyện về con người kết thúc một cách u ám. Condorcet ủng hộ Cách mạng, soạn thảo một hiến pháp, và sau đó bị rơi vào cơn thịnh nộ. Bị cấm vào năm 1793, ông đã trốn trong một nhà trọ ở Paris và — đối mặt với cái chết — đã viết tác phẩm lạc quan nhất của mình, Phác thảo về một Bức tranh Lịch sử về Sự Tiến bộ của Tâm trí Con người. Bị bắt vào tháng 3 năm 1794 sau khi trốn khỏi nơi ẩn náu, ông được tìm thấy đã chết trong buồng giam tại Bourg-la-Reine hai ngày sau đó. Nhà toán học của trí tuệ tập thể đã bị giết bởi một tập thể đã ngừng lắng nghe lý do — một sự mỉa mai mà không nhà sử học nào của thời kỳ này không ghi nhận.

Định lý, bằng tiếng Anh đơn giản

Bỏ qua ký hiệu thế kỷ mười tám và định lý nói như sau:

Lấy một câu hỏi có/không có câu trả lời đúng. Nếu mỗi người trong một nhóm có khả năng đúng cao hơn ngẫu nhiên, và mỗi người đánh giá một cách độc lập, thì xác suất mà đa số đúng sẽ tăng lên với kích thước của nhóm — và gần như chắc chắn khi nhóm trở nên lớn.

Trực giác là sự bù trừ lỗi. Mỗi cử tri là tín hiệu cộng với tiếng ồn. Bởi vì mọi người đúng nhiều hơn sai, tín hiệu chỉ ra cùng một hướng cho mọi người, trong khi tiếng ồn phân tán ngẫu nhiên. Những sai lầm cá nhân là những lần tung đồng xu không tương quan; hạt giống sự thật chung tích lũy. Bỏ phiếu đa số đơn giản là một cỗ máy cho phép tiếng ồn bị bù trừ và tín hiệu cộng lại — cùng một phép toán đứng sau trí tuệ của đám đông, điều này sau đó đã khiến 787 người tham gia hội chợ đánh giá tốt hơn các chuyên gia về gia súc trong thí nghiệm bò của Galton, áp dụng cho phiếu bầu thay vì ước lượng.

Các con số: đa số thông minh nhanh như thế nào

Sức mạnh của định lý dễ cảm nhận nhất với các con số cụ thể. Giả sử mỗi người trả lời đúng một câu hỏi nhị phân một cách độc lập 60% thời gian — khá tốt nhưng không phải là chuyên gia. Xác suất mà một đa số trong nhóm trả lời đúng:

Đọc cột 60% theo chiều dọc: ba người hầu như không cải thiện hơn một; mười một người thì tốt hơn có ý nghĩa; một trăm lẻ một người đúng 97,9% thời gian; năm trăm lẻ một người thì gần như không thể sai. Ngay cả một chút năng lực cá nhân — cột 51% — cũng tích lũy không ngừng với quy mô: khoảng 58% cho một nhóm 101 người, khoảng 74% với một ngàn cử tri, và khoảng 98% với mười ngàn. Phán quyết cá nhân tầm thường, nếu được tập hợp đúng cách, sẽ tạo ra phán quyết tập thể xuất sắc. Đó là mặt lạc quan của định lý.

Người anh em tối tăm: khi p giảm xuống dưới một nửa

Bây giờ hãy đọc cột 45%. Cùng một toán học khiến đám đông có năng lực gần như không thể sai khiến đám đông không có năng lực gần như chắc chắn sai. Nếu mỗi cá nhân chỉ đúng 45% thời gian — bị dẫn dắt một cách hệ thống về câu hỏi cụ thể này — một đa số 101 người chỉ đúng 15,6% thời gian, và một đa số 501 người khoảng 1,2% thời gian. Tập hợp không làm sạch phán quyết xấu; nó tập trung nó. Một nhóm lớn chia sẻ một hiểu lầm hệ thống sẽ tự tin sai hơn bất kỳ thành viên nào của nó.

Đây là phần của định lý hiếm khi được đưa vào các lễ kỷ niệm về trí tuệ đám đông, và nó có một cạnh thực tiễn sắc bén. Quy mô của một nhóm là tài sản hay trách nhiệm hoàn toàn phụ thuộc vào việc các thành viên ngồi ở bên nào của đường 50% cho câu hỏi hiện tại — đó là lý do tại sao thông tin sai, và môi trường truyền thông hình thành độ chính xác cá nhân, không phải là một vấn đề phụ cho việc ra quyết định tập thể mà là vấn đề trung tâm. Quy mô khuếch đại bất cứ điều gì bạn cho vào.

Các giả định — và những gì xảy ra khi chúng bị phá vỡ

Định lý là một tuyên bố nếu-thì, và mọi điều thú vị về việc áp dụng nó sống trong phần “nếu.” Bốn giả định mang lại kết quả:

Hai trăm năm rưỡi học thuật đã kiểm tra từng giả định. Grofman, Owen và Feld trong “Mười ba định lý tìm kiếm sự thật” (Theory and Decision, 1983) cho thấy kết quả vẫn tồn tại với năng lực không đồng nhất — cử tri không cần phải có cùng một độ chính xác; dưới các điều kiện phân phối hợp lý, độ chính xác trung bình trên một nửa là đủ. Krishna Ladha (1992) đã giải quyết vấn đề tương quan và phát hiện rằng các phiếu bầu có tương quan yếu đi sự đảm bảo mà không luôn phá hủy nó: kích thước hiệu quả của một đám đông có tương quan nhỏ hơn số lượng của nó, vì các phiếu bầu sao chép thêm tiếng ồn thay vì thông tin mới.

Trong thực tế, độc lập là giả định bị phá vỡ đầu tiên và khó khăn nhất. Khi các ý kiến ban đầu được nhìn thấy, các cử tri sau đó một cách hợp lý giảm giá trị thông tin của chính họ và theo — một chuỗi thông tin — và khi mọi người dựa vào cùng một vài nguồn, các phiếu bầu có tương quan ngay cả khi không ai sao chép ai. Một triệu cử tri đọc cùng một nguồn tin có thể mang trọng lượng thông tin tương đương với một vài cử tri độc lập. Định lý không thất bại một cách thanh lịch; nó thất bại một cách im lặng, trong khi nhóm vẫn cảm thấy như một đa số lớn, tự tin.

Chu kỳ: nghịch lý mà Condorcet cũng phát hiện

Cùng một Essai năm 1785 chứa một phát hiện thứ hai, khó chịu hơn. Với ba hoặc nhiều tùy chọn, sở thích của đa số có thể xoay vòng: một nhóm có thể thích A hơn B, B hơn C, và C hơn A, ngay cả khi sở thích của từng cá nhân hoàn toàn nhất quán. Nghịch lý Condorcet này có nghĩa là “ý chí của đa số” có thể đơn giản không tồn tại như một xếp hạng nhất quán — tùy chọn nào thắng có thể phụ thuộc vào thứ tự mà các phiếu bầu được thực hiện.

Vết nứt trong quy tắc đa số đó đã trở thành nền tảng của một lĩnh vực hoàn toàn. Năm 1951, Kenneth Arrow đã tổng quát hóa nó thành định lý không thể: không có hệ thống bỏ phiếu dựa trên xếp hạng nào có thể thỏa mãn một danh sách ngắn các điều kiện công bằng hợp lý đồng thời. Lý thuyết lựa chọn xã hội — cách mà các hệ thống bỏ phiếu tập hợp sở thích, khác với cách mà các bồi thẩm đoàn tập hợp phán quyết và các thị trường tập hợp niềm tin — là một chủ đề mà chúng ta sẽ trở lại trong chính nó. Hiện tại, đạo đức thực tiễn: định lý bồi thẩm đoàn tỏa sáng trên các câu hỏi thực tế có câu trả lời đúng; ngay khi một quyết định liên quan đến các giá trị cạnh tranh thay vì các sự thật cạnh tranh, các cơ chế khác (và toán học khác) sẽ được áp dụng.

240 năm ứng dụng

Đối với một mảnh xác suất thế kỷ mười tám, định lý đã già đi một cách đáng ngạc nhiên:

Ứng dụng học máy xứng đáng được xem xét lại, vì nó cho thấy định lý hoạt động như một bản thiết kế kỹ thuật thay vì một phép ẩn dụ. Một rừng ngẫu nhiên cố ý đào tạo mỗi cây trên một mẫu con ngẫu nhiên của dữ liệu và các đặc điểm — không phải để làm cho bất kỳ cây đơn lẻ nào tốt hơn (nó làm cho chúng tệ hơn), mà để làm cho các lỗi của chúng ít tương quan hơn. Chấp nhận những cá nhân yếu hơn để mua độc lập chính là giao dịch mà định lý bồi thẩm đoàn khuyến nghị, và độ chính xác của tập hợp là phần thưởng. Các đội thiết kế các cơ chế quản trị DAO phải đối mặt với cùng một vấn đề thiết kế theo chiều ngược lại: bỏ phiếu theo trọng số token tập trung ảnh hưởng, và các tổng số công khai mời gọi sự dẫn dắt — cả hai đều thu hẹp bồi thẩm đoàn hiệu quả.

Những gì định lý không thể làm — và những gì phải xảy ra trước khi bỏ phiếu

Định lý bồi thẩm đoàn điều chỉnh một khoảnh khắc trong cuộc sống của một quyết định: bước tập hợp, khi các phán quyết cá nhân trở thành một phán quyết tập thể. Nó im lặng về mọi thứ ở phía trên — cách câu hỏi được đặt ra, những tùy chọn nào được đưa vào lá phiếu, thông tin mà cử tri thấy — và mọi thứ ở phía dưới. Một phiếu bầu được tập hợp hoàn hảo trên một câu hỏi được đặt ra kém sẽ tạo ra một câu trả lời xuất sắc cho vấn đề sai.

Nó cũng, theo thiết kế, loại bỏ lý do. Một phiếu bầu ghi lại rằng bốn mươi người ủng hộ tùy chọn A, không bao giờ tại sao — vì vậy phản đối mạnh mẽ nhất của thiểu số biến mất, lý do của đa số không thể được kiểm toán sau này, và nhóm không học được gì có thể chuyển nhượng cho quyết định tiếp theo. Đây là nơi mà sự thảo luận có cấu trúc bổ sung cho việc tập hợp thay vì cạnh tranh với nó. Trong quyết định hợp tác được thực hiện tốt, nhóm trước tiên nêu ra các lập luận một cách độc lập — bảo tồn sự độc lập mà định lý cần — sau đó đánh giá chúng một cách công khai, và chỉ sau đó mới hội tụ.

Argumentree được xây dựng xung quanh chính chuỗi đó. Các thành viên đóng góp các lập luận ủng hộ và phản đối một cách độc lập và không đồng bộ, trước khi bất kỳ ai neo giữ phòng — bảo vệ giả định chịu tải của định lý. Mỗi lập luận sau đó được đánh giá trên các khía cạnh rõ ràng (hữu ích, rõ ràng, chính xác, đầy đủ), và các đánh giá tập hợp thành các điểm đồng thuận: toán học bù trừ lỗi của Condorcet, áp dụng cho chất lượng của lý do thay vì chỉ số lượng phiếu bầu. Và không giống như một hộp phiếu, toàn bộ cây lập luận và dấu vết kiểm toán bảo tồn lý do mà nhóm đã quyết định — để quyết định có thể được giải thích, xem xét lại, và học hỏi từ đó. Marquis đã cung cấp toán học để tin tưởng vào một đa số; hai trăm bốn mươi năm sau, công việc còn lại là đảm bảo rằng phán quyết của đa số là độc lập, được thông tin, và được ghi lại.