The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

Marquis yang melakukan matematik tentang demokrasi

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet (1743–1794), adalah penganut paling komited dalam Enlightenment terhadap idea bahawa urusan manusia boleh dirasionalkan dengan ketepatan yang sama seperti fizik. Seorang ahli matematik yang cemerlang yang dipilih ke dalam Académie des sciences pada usia dua puluhan, beliau juga — tidak biasa untuk abad dan kelasnya — seorang penyokong awal dan lantang pendidikan awam percuma, hak mengundi wanita, dan penghapusan perhambaan. Di mana rakan-rakannya berdebat sama ada orang biasa seharusnya memerintah, Condorcet mengajukan soalan yang lebih asing dan produktif: dalam keadaan apa penilaian kolektif mereka sebenarnya boleh betul?

Jawapannya muncul pada tahun 1785 dalam Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — “Ese tentang Aplikasi Analisis kepada Kebarangkalian Keputusan Majoriti.” Tersembunyi dalam pengiraan kebarangkalian yang padat adalah hasil yang mengejutkan kesederhanaan dan kuasa, kini dikenali sebagai Teorem Juri Condorcet.

Kisah lelaki itu berakhir dengan gelap. Condorcet menyokong Revolusi, merangka sebuah perlembagaan, dan kemudian terjebak dalam Teror. Diharamkan pada tahun 1793, beliau bersembunyi di sebuah rumah tumpangan di Paris dan — menghadapi kematian — menulis karya paling optimistiknya, Sketch for a Historical Picture of the Progress of the Human Mind. Ditangkap pada bulan Mac 1794 selepas melarikan diri dari perlindungannya, beliau ditemui mati di selnya di Bourg-la-Reine dua hari kemudian. Ahli matematik kebijaksanaan kolektif dibunuh oleh satu kumpulan yang telah berhenti mendengar alasan — satu ironi yang tidak terlepas oleh mana-mana sejarawan pada zaman itu.

Teorem, dalam Bahasa Inggeris yang mudah

Buang notasi abad kelapan belas dan teorem ini mengatakan ini:

Ambil soalan ya/tidak yang mempunyai jawapan yang betul. Jika setiap orang dalam kumpulan lebih mungkin daripada kebetulan untuk menjawab dengan betul, dan setiap orang menilai secara bebas, maka kebarangkalian bahawa majoriti menjawab dengan betul meningkat dengan saiz kumpulan — dan mendekati kepastian apabila kumpulan menjadi besar.

Intuisi adalah pembatalan ralat. Setiap pengundi adalah isyarat ditambah bunyi. Oleh kerana semua orang lebih sering betul daripada salah, isyarat menunjukkan arah yang sama untuk semua orang, sementara bunyi tersebar secara rawak. Kesilapan individu adalah lemparan syiling yang tidak berkorelasi; butiran kebenaran yang dikongsi terkumpul. Pengundian majoriti adalah sekadar mesin untuk membiarkan bunyi dibatalkan dan isyarat bertambah — aritmetik yang sama di sebalik kebijaksanaan orang ramai, yang kemudiannya membuat 787 pengunjung pameran secara kolektif menghakimi pakar lembu dalam eksperimen lembu Galton, diterapkan kepada undi dan bukannya anggaran.

Nombor: betapa cepatnya majoriti menjadi pintar

Kekuatan teorem ini paling mudah dirasai dengan nombor konkrit. Anggap setiap orang menjawab soalan binari dengan betul 60% daripada masa — baik tetapi jauh dari pakar. Kebarangkalian bahawa majoriti kumpulan menjawab dengan betul:

Baca lajur 60% ke bawah: tiga orang hampir tidak memperbaiki satu; sebelas orang adalah lebih baik secara bermakna; seratus satu adalah betul 97.9% daripada masa; lima ratus satu adalah hampir tidak dapat disalahkan. Bahkan sedikit kompetensi individu — lajur 51% — bertambah tanpa henti dengan skala: kira-kira 58% untuk kumpulan 101, lebih kurang 74% pada seribu pengundi, dan kira-kira 98% pada sepuluh ribu. Penilaian individu yang sederhana, yang digabungkan dengan betul, menghasilkan penilaian kolektif yang cemerlang. Itulah wajah optimistik teorem ini.

Saudara kembar gelap: apabila p jatuh di bawah setengah

Sekarang baca lajur 45%. Matematik yang sama yang menjadikan orang ramai yang kompeten hampir tidak dapat disalahkan menjadikan orang ramai yang tidak kompeten hampir tidak dapat disalahkan salah. Jika setiap individu hanya betul 45% daripada masa — secara sistematik salah maklumat tentang soalan tertentu ini — majoriti 101 hanya betul 15.6% daripada masa, dan majoriti 501 kira-kira 1.2% daripada masa. Pengagregatan tidak membersihkan penilaian yang buruk; ia menumpukan perhatian. Kumpulan besar yang berkongsi salah faham sistematik akan lebih yakin salah daripada mana-mana anggotanya.

Ini adalah separuh teorem yang jarang dimasukkan ke dalam perayaan kebijaksanaan orang ramai, dan ia mempunyai tepi praktikal yang tajam. Sama ada skala kumpulan adalah aset atau liabiliti bergantung sepenuhnya kepada di mana anggota-anggotanya duduk di sebelah mana garis 50% untuk soalan yang dihadapi — itulah sebabnya maklumat yang salah, dan persekitaran media yang membentuk ketepatan individu, bukan isu sampingan untuk pengambilan keputusan kolektif tetapi isu utama. Skala memperkuat apa sahaja yang anda berikan kepadanya.

Anggapan — dan apa yang pecah apabila ia pecah

Teorem ini adalah kenyataan jika-then, dan segala sesuatu yang menarik tentang penerapannya terletak pada “jika.” Empat anggapan membawa hasil:

Dua setengah abad pengajian telah menguji setiap anggapan. Grofman, Owen dan Feld dalam “Tiga Belas teorem dalam pencarian kebenaran” (Theory and Decision, 1983) menunjukkan hasilnya bertahan dengan kompetensi heterogen — pengundi tidak semua perlu mempunyai ketepatan yang sama; di bawah syarat pengagihan yang munasabah, ketepatan purata di atas setengah sudah mencukupi. Krishna Ladha (1992) menangani korelasi dan mendapati bahawa undi yang berkorelasi melemahkan jaminan tanpa selalu memusnahkannya: saiz berkesan kumpulan yang berkorelasi adalah lebih kecil daripada bilangan anggotanya, kerana undi yang disalin menambah perkongsian bunyi dan bukannya maklumat baru.

Dalam praktiknya, kebebasan adalah anggapan yang pertama dan paling sukar gagal. Apabila pendapat awal dapat dilihat, pengundi kemudian secara rasional mengabaikan maklumat mereka sendiri dan mengikuti — satu kaskade maklumat — dan apabila semua orang menarik dari beberapa sumber yang sama, undi berkorelasi walaupun tanpa sesiapa menyalin sesiapa. Satu juta pengundi yang membaca suapan yang sama boleh membawa kira-kira berat maklumat yang sama dengan segelintir yang bebas. Teorem ini tidak gagal dengan baik; ia gagal secara senyap, sementara kumpulan masih merasakan seperti majoriti yang besar dan yakin.

Kitaran: paradoks yang juga ditemui oleh Condorcet

Essai 1785 yang sama Essai mengandungi penemuan kedua yang lebih membimbangkan. Dengan tiga atau lebih pilihan, keutamaan majoriti boleh berkitar: satu kumpulan boleh lebih suka A daripada B, B daripada C, dan C daripada A, walaupun setiap individu mempunyai keutamaan yang konsisten. Paradoks Condorcet ini bermakna “kehendak majoriti” mungkin tidak wujud sebagai penarafan yang koheren — pilihan mana yang menang boleh bergantung kepada urutan undi diambil.

Retakan dalam peraturan majoriti itu menjadi asas kepada satu bidang keseluruhan. Pada tahun 1951, Kenneth Arrow menggeneralisasikannya menjadi teorem ketidakmungkinan: tiada sistem pengundian berasaskan penarafan boleh memenuhi senarai pendek syarat keadilan yang munasabah secara serentak. Teori pilihan sosial — bagaimana sistem pengundian mengagregat keutamaan, berbeza daripada bagaimana juri mengagregat penilaian dan pasaran mengagregat kepercayaan — adalah subjek yang akan kita kembali kepada dengan sendirinya. Untuk sekarang, moral praktikal: teorem juri bersinar pada soalan fakta dengan jawapan yang betul; saat keputusan adalah tentang nilai yang bersaing dan bukannya fakta yang bersaing, mesin yang berbeza (dan matematik yang berbeza) digunakan.

240 tahun aplikasi

Untuk sepotong kebarangkalian abad kelapan belas, teorem ini telah berumur dengan baik:

Aplikasi pembelajaran mesin memerlukan perhatian kedua, kerana ia menunjukkan teorem ini berfungsi sebagai pelan kejuruteraan dan bukannya metafora. Hutan rawak secara sengaja melatih setiap pokok pada subsampel data dan ciri yang rawak — bukan untuk menjadikan mana-mana pokok tunggal lebih baik (ia menjadikannya lebih teruk), tetapi untuk menjadikan kesilapan mereka kurang berkorelasi. Menerima individu yang lebih lemah untuk membeli kebebasan adalah perdagangan yang tepat yang disyorkan oleh teorem juri, dan ketepatan berkumpulan adalah ganjarannya. Pasukan yang merancang mekanisme tadbir urus DAO menghadapi masalah reka bentuk yang sama secara terbalik: pengundian berasaskan token menumpukan pengaruh, dan pengiraan yang boleh dilihat secara awam mengundang penggembalaan — kedua-duanya mengecilkan juri yang berkesan.

Apa yang teorem ini tidak dapat lakukan — dan apa yang perlu berlaku sebelum undi

Teorem juri mengawal satu saat dalam kehidupan keputusan: langkah pengagregatan, apabila penilaian individu menjadi keputusan kolektif. Ia tidak menyentuh tentang segala sesuatu yang lebih awal — bagaimana soalan itu dirangka, pilihan mana yang sampai ke kertas undi, maklumat apa yang dilihat oleh pengundi — dan segala sesuatu yang lebih rendah. Undi yang diagregat dengan sempurna pada soalan yang dirangka dengan buruk menghasilkan jawapan yang cemerlang kepada masalah yang salah.

Ia juga, secara reka bentuk, membuang alasan. Undi merekod bahawa empat puluh orang menyokong pilihan A, tidak pernah mengapa — jadi bantahan terkuat minoriti hilang, alasan majoriti tidak dapat diaudit kemudian, dan kumpulan tidak belajar apa-apa yang boleh dipindahkan untuk keputusan seterusnya. Di sinilah perbincangan terstruktur melengkapkan pengagregatan dan bukannya bersaing dengannya. Dalam pengambilan keputusan kolaboratif yang dilakukan dengan baik, kumpulan pertama kali mengemukakan hujah secara bebas — mengekalkan kebebasan yang diperlukan oleh teorem — kemudian menilai mereka secara terbuka, dan hanya kemudian bersatu.

Argumentree dibina di sekitar urutan itu. Peserta menyumbang hujah pro dan kontra secara bebas dan tidak serentak, sebelum sesiapa mengikat bilik — melindungi anggapan yang menyokong teorem. Setiap hujah kemudian dinilai pada dimensi yang jelas (kegunaan, kejelasan, ketepatan, kelengkapan), dan penilaian digabungkan menjadi skor konsensus: aritmetik pembatalan ralat Condorcet, diterapkan kepada kualiti alasan dan bukannya hanya jumlah undi. Dan tidak seperti kotak undi, keseluruhan pokok argumen dan jejak audit mengekalkan mengapa kumpulan memutuskan — jadi keputusan boleh dijelaskan, dikunjungi semula, dan dipelajari. Marquis menyediakan matematik untuk mempercayai majoriti; dua ratus empat puluh tahun kemudian, kerja yang tinggal adalah memastikan penilaian majoriti adalah bebas, berinformasi, dan direkodkan.