The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

민주주의에 대한 수학을 한 마르키즈

마리 장 앙투안 니콜라 드 카리타, 마르키즈 드 콩도르세(1743–1794)는 인간의 일들이 물리학과 같은 엄격함으로 논의될 수 있다는 아이디어에 가장 헌신적인 계몽주의자였습니다. 20대에 과학 아카데미에 선출된 뛰어난 수학자였던 그는 그의 세기와 계급에서 드물게도 공립 교육, 여성의 참정권, 그리고 노예제 폐지를 조기에 공개적으로 지지한 인물이었습니다. 그의 동시대 인물들이 평범한 사람들이 지배해야 하는지 논의할 때, 콩도르세는 더 낯선 생산적인 질문을 던졌습니다: 그들의 집단 판단이 실제로 올바른 조건은 무엇인가?

그의 대답은 1785년 다수결의 결정 확률에 대한 분석의 응용에 관한 에세이에 나타났습니다. 그 밀집된 확률 계산 속에는 놀라운 단순성과 힘의 결과가 숨겨져 있으며, 이제 콩도르세 배심원 정리로 알려져 있습니다.

그 남자의 이야기는 어둡게 끝납니다. 콩도르세는 혁명을 지지하고 헌법을 초안했으나, 테러의 희생양이 되었습니다. 1793년 금지된 그는 파리의 하숙집에 숨어 지내며 — 죽음을 맞이하며 — 그의 가장 낙관적인 저작인 인간 정신의 발전에 대한 역사적 그림의 스케치를 썼습니다. 1794년 3월, 그의 피난처에서 도망친 후 체포되어 이틀 후 부르글라레인에서 그의 감방에서 죽은 채 발견되었습니다. 집단 지혜의 수학자는 이유를 듣지 않는 집단에 의해 죽임을 당했습니다 — 이는 이 시기의 어떤 역사학자도 간과하지 않는 아이러니입니다.

정리를 쉽게 설명하면

18세기 표기법을 제거하면 정리는 다음과 같습니다:

올바른 답이 있는 예/아니오 질문을 가져옵니다. 그룹의 각 사람이 우연보다 더 올바를 가능성이 높고, 각자가 독립적으로 판단한다면, 다수가 올바를 확률은 그룹의 크기가 커짐에 따라 증가하며 — 그룹이 커질수록 확실성에 가까워집니다.

직관은 오류 상쇄입니다. 각 유권자는 신호와 잡음입니다. 모든 사람이 잘못보다 더 자주 올바르기 때문에, 신호는 모두에게 같은 방향을 가리키고, 잡음은 무작위로 흩어집니다. 개인의 실수는 상관없는 동전 던지기이며; 공유된 진리의 알갱이는 축적됩니다. 다수 투표는 단순히 잡음이 상쇄되고 신호가 합산되도록 하는 기계입니다 — 이는 나중에 787명의 공정한 관객이 군중의 지혜로 소를 판단하는 갈톤의 소 실험에 적용된 동일한 산술입니다.

숫자: 다수가 얼마나 빨리 똑똑해지는가

정리의 힘은 구체적인 숫자로 느끼는 것이 가장 쉽습니다. 각 사람이 독립적으로 이진 질문에 대해 60%의 확률로 올바르게 대답한다고 가정해 보겠습니다 — 괜찮지만 전문가와는 거리가 멉니다. 그룹의 다수가 올바르게 대답할 확률은:

60% 열을 아래로 읽어보세요: 세 사람은 한 사람보다 거의 개선되지 않으며; 열한 사람은 의미 있게 더 나아지고; 101명은 97.9%의 확률로 올바르며; 501명은 사실상 무오류입니다. 개인의 능력이 약간만 있어도 — 51% 열 — 규모와 함께 끊임없이 증가합니다: 101명의 그룹에서 약 58%, 천 명의 유권자에서 대략 74%, 만 명에서 약 98%입니다. 보통의 개인 판단이 올바르게 집계되면 훌륭한 집단 판단을 만들어냅니다. 이것이 정리의 낙관적인 면입니다.

어두운 쌍둥이: p가 1/2 이하로 떨어질 때

이제 45% 열을 읽어보세요. 유능한 군중을 거의 무오류로 만드는 동일한 수학이 무능한 군중을 거의 확실히 잘못되게 만듭니다. 각 개인이 45%의 확률로만 올바르다면 — 특정 질문에 대해 체계적으로 잘못된 정보에 의해 — 101명의 다수는 15.6%의 확률로만 올바르며, 501명의 다수는 약 1.2%의 확률로 올바릅니다. 집계는 나쁜 판단을 세탁하지 않으며; 그것을 집중시킵니다. 체계적인 오해를 공유하는 대규모 그룹은 그 구성원보다 더 확신을 가지고 잘못될 것입니다.

이것은 군중의 지혜를 축하하는 데 거의 포함되지 않는 정리의 절반이며, 날카로운 실용적 측면이 있습니다. 그룹의 규모가 자산인지 부채인지는 전적으로 그 구성원이 해당 질문에 대해 50% 선의 어느 쪽에 앉아 있는지에 달려 있습니다 — 이것이 잘못된 정보와 개인의 정확성을 형성하는 미디어 환경이 집단 의사결정에 있어 부차적인 문제가 아니라 중심적인 문제인 이유입니다. 규모는 당신이 공급하는 것을 증폭시킵니다.

가정 — 그리고 그것들이 깨질 때 무엇이 깨지는가

정리는 만약-그렇다면 진술이며, 그것을 적용하는 데 흥미로운 모든 것은 '만약'에 있습니다. 네 가지 가정이 결과를 지탱합니다:

250년 이상의 학문이 각 가정을 스트레스 테스트했습니다. Grofman, Owen 및 Feld의 '진리를 찾는 13개의 정리'(이론과 결정, 1983)는 결과가 이질적인 능력을 견딜 수 있음을 보여주었습니다 — 유권자는 모두 같은 정확도를 가질 필요는 없으며; 합리적인 분포 조건 하에서 평균 정확도가 50% 이상이면 충분합니다. Krishna Ladha(1992)는 상관관계를 다루었고, 상관된 투표가 보장을 약화시키지만 항상 파괴하지는 않는다는 것을 발견했습니다: 상관된 군중의 효과적인 크기는 그 수보다 작습니다. 왜냐하면 복사된 투표는 새로운 정보가 아닌 잡음 공유를 추가하기 때문입니다.

실제로 독립성은 가장 먼저 그리고 가장 심하게 실패하는 가정입니다. 초기 의견이 보일 때, 후속 유권자는 자신의 정보를 합리적으로 할인하고 따릅니다 — 정보 연쇄 — 그리고 모두가 같은 몇 가지 출처를 참조할 때, 투표는 아무도 복사하지 않더라도 상관관계가 생깁니다. 같은 피드를 읽는 백만 명의 유권자는 독립적인 유권자 몇 명의 정보적 무게를 지닐 수 있습니다. 이 정리는 우아하게 실패하지 않습니다; 그것은 조용히 실패하며, 그룹은 여전히 큰, 자신감 있는 다수처럼 느껴집니다.

주기: 콩도르세가 발견한 역설

동일한 1785년 에세이에는 두 번째, 더 불안한 발견이 포함되어 있습니다. 세 가지 이상의 옵션이 있을 때, 다수의 선호는 주기적일 수 있습니다: 그룹이 A를 B보다 선호하고, B를 C보다 선호하며, C를 A보다 선호할 수 있습니다. 모든 개인의 선호가 완벽하게 일관되더라도 말입니다. 이 콩도르세 역설은 '다수의 의지'가 일관된 순위로 존재하지 않을 수 있음을 의미합니다 — 어떤 옵션이 승리하는지는 투표가 이루어지는 순서에 따라 달라질 수 있습니다.

다수결의 규칙에서의 그 균열은 전체 분야의 기초가 되었습니다. 1951년, 케네스 애로우는 이를 그의 불가능성 정리로 일반화했습니다: 어떤 순위 기반 투표 시스템도 동시에 짧은 공정성 조건 목록을 만족할 수 없습니다. 사회 선택 이론 — 투표 시스템이 선호를 집계하는 방법, 배심원이 판단을 집계하는 방법 및 시장이 신념을 집계하는 방법과는 구별됩니다 — 은 우리가 나중에 다시 다룰 주제입니다. 지금은 실용적인 도덕: 배심원 정리는 올바른 답이 있는 사실 질문에 빛을 발합니다; 결정이 경쟁하는 가치에 관한 것이라면, 다른 기계(그리고 다른 수학)가 적용됩니다.

240년의 응용

18세기 확률의 한 조각으로서, 이 정리는 놀랍도록 잘 나이 들었습니다:

기계 학습 응용은 두 번째 시선을 받을 자격이 있습니다. 왜냐하면 이 정리가 은유가 아닌 공학적 청사진으로 작동하는 것을 보여주기 때문입니다. 랜덤 포레스트는 각 트리를 데이터와 특성의 무작위 하위 샘플에서 의도적으로 훈련합니다 — 어떤 단일 트리를 더 좋게 만들기 위해서가 아니라(오히려 나쁘게 만듭니다), 그들의 오류를 덜 상관되게 만들기 위해서입니다. 독립성을 구매하기 위해 더 약한 개인을 수용하는 것은 배심원 정리가 추천하는 정확히 그 거래이며, 앙상블의 정확도가 보상입니다. DAO 거버넌스 메커니즘을 설계하는 팀은 반대로 동일한 설계 문제에 직면합니다: 토큰 가중 투표는 영향을 집중시키고, 공개적으로 보이는 집계는 집단화를 초대합니다 — 이 두 가지 모두 효과적인 배심원을 줄입니다.

정리가 할 수 없는 것 — 그리고 투표 전에 일어나야 할 것

배심원 정리는 결정의 생애에서 한 순간을 지배합니다: 집계 단계, 개인의 판단이 집단 판결로 변하는 단계입니다. 그것은 모든 상류에 대해 침묵합니다 — 질문이 어떻게 구성되었는지, 어떤 옵션이 투표에 올라갔는지, 유권자가 어떤 정보를 보았는지 — 그리고 모든 하류에 대해서도 마찬가지입니다. 잘못 구성된 질문에 대한 완벽하게 집계된 투표는 잘못된 문제에 대한 훌륭한 답을 제공합니다.

또한, 설계상 이유를 버립니다. 투표는 그 40명이 옵션 A를 선호했다는 것을 기록하지만, 왜 그런지는 기록하지 않습니다 — 그래서 소수의 가장 강력한 반대 의견은 사라지고, 다수의 추론은 나중에 감사할 수 없으며, 그룹은 다음 결정에 대해 전이 가능한 것을 배우지 못합니다. 이것이 구조화된 심의가 집계를 보완하는 이유입니다. 잘 수행된 협력적 의사결정에서, 그룹은 먼저 독립적으로 주장을 표출합니다 — 정리가 필요로 하는 독립성을 보존하며 — 그런 다음 이를 공개적으로 평가하고, 그 후에야 수렴합니다.

Argumentree는 바로 그 순서를 중심으로 구축되었습니다. 참가자들은 독립적이고 비동기적으로 찬반 주장을 기여하며, 누구도 방을 고정하기 전에 — 정리의 부담 가정을 보호합니다. 각 주장은 명시적인 차원(유용성, 명확성, 정확성, 완전성)에서 평가되며, 평가는 합의 점수로 집계됩니다: 콩도르세의 오류 상쇄 산술이 투표의 수가 아닌 이유의 질에 적용됩니다. 그리고 투표함과는 달리, 전체 논증 트리와 감사 기록은 그룹이 결정을 내린 이유를 보존합니다 — 그래서 결정은 설명될 수 있고, 다시 검토되며, 배울 수 있습니다. 마르키즈는 다수를 신뢰할 수 있는 수학을 제공했습니다; 240년이 지난 지금, 남은 작업은 다수의 판단이 독립적이고, 정보에 기반하며, 기록에 남도록 하는 것입니다.