The Condorcet Jury Theorem: The 240-Year-Old Math Behind Better Decisions

Marquis yang melakukan matematika tentang demokrasi

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marquis de Condorcet (1743–1794), adalah penganut paling setia dari Pencerahan terhadap ide bahwa urusan manusia dapat dipikirkan dengan ketelitian yang sama seperti fisika. Seorang matematikawan brilian yang terpilih menjadi anggota Académie des sciences di usia dua puluhan, ia juga — tidak biasa untuk abadnya dan kelasnya — seorang advokat awal dan vokal untuk pendidikan publik gratis, hak suara perempuan, dan penghapusan perbudakan. Di mana rekan-rekannya berdebat apakah orang biasa seharusnya memerintah, Condorcet mengajukan pertanyaan yang lebih asing dan produktif: dalam kondisi apa penilaian kolektif mereka benar-benar benar?

Jawabannya muncul pada tahun 1785 dalam Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — “Esai tentang Aplikasi Analisis terhadap Probabilitas Keputusan Mayoritas.” Tersembunyi dalam perhitungan probabilitasnya yang padat adalah hasil yang mengejutkan kesederhanaan dan kekuatan, kini dikenal sebagai Teorema Juri Condorcet.

Kisah pria itu berakhir kelam. Condorcet mendukung Revolusi, merancang konstitusi, dan kemudian terjebak dalam Teror. Dilarang pada tahun 1793, ia bersembunyi di sebuah rumah kos di Paris dan — menghadapi kematian — menulis karya paling optimisnya, Sketsa untuk Gambar Sejarah tentang Kemajuan Pikiran Manusia. Ditangkap pada bulan Maret 1794 setelah melarikan diri dari tempat persembunyiannya, ia ditemukan tewas di selnya di Bourg-la-Reine dua hari kemudian. Matematikawan kebijaksanaan kolektif dibunuh oleh kolektif yang telah berhenti mendengarkan alasan — sebuah ironi yang tidak luput dari perhatian sejarawan periode itu.

Teorema, dalam bahasa yang sederhana

Hilangkan notasi abad kedelapan belas dan teorema ini mengatakan ini:

Ambil pertanyaan ya/tidak yang memiliki jawaban yang benar. Jika setiap orang dalam kelompok lebih mungkin daripada peluang untuk menjawab dengan benar, dan setiap orang menilai secara independen, maka probabilitas bahwa mayoritas menjawab dengan benar meningkat seiring dengan ukuran kelompok — dan mendekati kepastian saat kelompok menjadi besar.

Intuisi adalah pembatalan kesalahan. Setiap pemilih adalah sinyal ditambah kebisingan. Karena setiap orang lebih sering benar daripada salah, sinyal mengarah ke arah yang sama untuk semua orang, sementara kebisingan menyebar secara acak. Kesalahan individu adalah lemparan koin yang tidak berkorelasi; butir kebenaran yang dibagikan terakumulasi. Pemungutan suara mayoritas hanyalah mesin untuk membiarkan kebisingan dibatalkan dan sinyal terakumulasi — aritmetika yang sama di balik kebijaksanaan kerumunan, yang kemudian membuat 787 pengunjung pameran secara kolektif mengalahkan para ahli ternak dalam eksperimen sapi Galton, diterapkan pada suara alih-alih estimasi.

Angka: seberapa cepat mayoritas menjadi pintar

Kekuatan teorema paling mudah dirasakan dengan angka konkret. Misalkan setiap orang secara independen menjawab pertanyaan biner dengan benar 60% dari waktu — cukup baik tetapi jauh dari ahli. Probabilitas bahwa mayoritas kelompok menjawab dengan benar:

Baca kolom 60% ke bawah: tiga orang hampir tidak memperbaiki satu; sebelas orang jauh lebih baik; seratus satu benar 97,9% dari waktu; lima ratus satu praktis tidak dapat salah. Bahkan sedikit kompetensi individu — kolom 51% — terakumulasi tanpa henti dengan skala: sekitar 58% untuk kelompok 101, kira-kira 74% pada seribu pemilih, dan sekitar 98% pada sepuluh ribu. Penilaian individu yang mediocre, jika digabungkan dengan benar, menghasilkan penilaian kolektif yang sangat baik. Itulah wajah optimis dari teorema ini.

Kembar gelap: ketika p jatuh di bawah setengah

Sekarang baca kolom 45%. Matematika yang sama yang membuat kerumunan yang kompeten hampir tidak dapat salah membuat kerumunan yang tidak kompeten hampir pasti salah. Jika setiap individu hanya benar 45% dari waktu — secara sistematis salah informasi pada pertanyaan tertentu ini — mayoritas 101 hanya benar 15,6% dari waktu, dan mayoritas 501 sekitar 1,2% dari waktu. Agregasi tidak membersihkan penilaian yang buruk; itu mengonsentrasikannya. Sebuah kelompok besar yang berbagi kesalahpahaman sistematis akan lebih percaya diri salah daripada anggotanya.

Ini adalah bagian dari teorema yang jarang masuk ke dalam perayaan kebijaksanaan kerumunan, dan memiliki tepi praktis yang tajam. Apakah skala kelompok merupakan aset atau liabilitas tergantung sepenuhnya pada sisi mana dari garis 50% anggotanya duduk untuk pertanyaan yang dihadapi — itulah sebabnya informasi yang salah, dan lingkungan media yang membentuk akurasi individu, bukanlah masalah sampingan untuk pengambilan keputusan kolektif tetapi masalah sentral. Skala memperbesar apa pun yang Anda berikan.

Asumsi — dan apa yang rusak ketika mereka rusak

Teorema ini adalah pernyataan jika-maka, dan segala sesuatu yang menarik tentang penerapannya terletak pada “jika.” Empat asumsi membawa hasilnya:

Dua setengah abad penelitian telah menguji setiap asumsi. Grofman, Owen, dan Feld dalam “Tiga Belas teorema dalam pencarian kebenaran” (Theory and Decision, 1983) menunjukkan bahwa hasilnya bertahan dengan kompetensi heterogen — pemilih tidak perlu memiliki akurasi yang sama; di bawah kondisi distribusi yang wajar, akurasi rata-rata di atas setengah sudah cukup. Krishna Ladha (1992) menangani korelasi dan menemukan bahwa suara yang berkorelasi melemahkan jaminan tanpa selalu menghancurkannya: ukuran efektif dari kerumunan yang berkorelasi lebih kecil daripada jumlah anggotanya, karena suara yang disalin menambah kebisingan daripada informasi baru.

Dalam praktiknya, independensi adalah asumsi yang pertama kali dan paling keras gagal. Ketika pendapat awal terlihat, pemilih selanjutnya secara rasional mendiskon informasi mereka sendiri dan mengikuti — sebuah cascades informasi — dan ketika semua orang menarik dari beberapa sumber yang sama, suara berkorelasi bahkan tanpa ada yang menyalin siapa pun. Satu juta pemilih yang membaca umpan yang sama dapat membawa sekitar berat informasi dari segelintir yang independen. Teorema ini tidak gagal dengan anggun; ia gagal secara diam-diam, sementara kelompok masih merasa seperti mayoritas besar yang percaya diri.

Siklus: paradoks yang juga ditemukan Condorcet

Essai 1785 yang sama Essai mengandung penemuan kedua yang lebih mengganggu. Dengan tiga atau lebih opsi, preferensi mayoritas dapat berputar: sebuah kelompok dapat lebih menyukai A daripada B, B daripada C, dan C daripada A, meskipun preferensi setiap individu sangat konsisten. Paradoks Condorcet ini berarti “kehendak mayoritas” mungkin tidak ada sebagai peringkat yang koheren — opsi mana yang menang dapat bergantung pada urutan suara yang diambil.

Retakan dalam aturan mayoritas ini menjadi dasar dari seluruh bidang. Pada tahun 1951, Kenneth Arrow menggeneralisasikannya menjadi teorema ketidakmungkinan: tidak ada sistem pemungutan suara berbasis peringkat yang dapat memenuhi daftar singkat kondisi keadilan yang wajar secara bersamaan. Teori pilihan sosial — bagaimana sistem pemungutan suara mengagregasi preferensi, berbeda dari bagaimana juri mengagregasi penilaian dan pasar mengagregasi keyakinan — adalah subjek yang akan kita kembalikan pada saatnya. Untuk saat ini, moral praktisnya: teorema juri bersinar pada pertanyaan faktual dengan jawaban yang benar; saat keputusan berkaitan dengan nilai-nilai yang bersaing daripada fakta-fakta yang bersaing, mesin yang berbeda (dan matematika yang berbeda) berlaku.

240 tahun aplikasi

Untuk sepotong probabilitas abad kedelapan belas, teorema ini telah berumur sangat baik:

Aplikasi pembelajaran mesin layak untuk ditinjau kembali, karena menunjukkan teorema bekerja sebagai cetak biru rekayasa daripada sebagai metafora. Hutan acak secara sengaja melatih setiap pohon pada subsampel data dan fitur yang acak — bukan untuk membuat satu pohon lebih baik (itu membuatnya lebih buruk), tetapi untuk membuat kesalahan mereka kurang berkorelasi. Menerima individu yang lebih lemah untuk membeli independensi adalah perdagangan yang tepat yang direkomendasikan oleh teorema juri, dan akurasi ensemble adalah imbalannya. Tim yang merancang mekanisme pemerintahan DAO menghadapi masalah desain yang sama secara terbalik: pemungutan suara berbasis token mengonsentrasikan pengaruh, dan penghitungan yang terlihat secara publik mengundang penggembalaan — keduanya menyusutkan juri yang efektif.

Apa yang tidak dapat dilakukan teorema — dan apa yang harus terjadi sebelum pemungutan suara

Teorema juri mengatur satu momen dalam kehidupan sebuah keputusan: langkah agregasi, ketika penilaian individu menjadi putusan kolektif. Ini diam tentang segala sesuatu yang berada di hulu — bagaimana pertanyaan dirumuskan, opsi mana yang masuk ke dalam kotak suara, informasi apa yang dilihat pemilih — dan segala sesuatu yang berada di hilir. Suara yang teragregasi dengan sempurna pada pertanyaan yang dirumuskan dengan buruk menghasilkan jawaban yang sangat baik untuk masalah yang salah.

Ini juga, secara desain, membuang alasan. Suara mencatat bahwa empat puluh orang mendukung opsi A, tidak pernah mengapa — sehingga keberatan terkuat dari minoritas menghilang, alasan mayoritas tidak dapat diaudit kemudian, dan kelompok tidak belajar apa pun yang dapat diterapkan untuk keputusan berikutnya. Di sinilah deliberasi terstruktur melengkapi agregasi daripada bersaing dengannya. Dalam pengambilan keputusan kolaboratif yang dilakukan dengan baik, kelompok pertama kali mengungkapkan argumen secara independen — mempertahankan independensi yang dibutuhkan teorema — kemudian mengevaluasi mereka secara terbuka, dan hanya kemudian menyatu.

Argumentree dibangun di sekitar urutan itu. Peserta menyumbangkan argumen pro dan kontra secara independen dan asinkron, sebelum siapa pun mengikat ruangan — melindungi asumsi yang menopang teorema. Setiap argumen kemudian dinilai pada dimensi eksplisit (kegunaan, kejelasan, akurasi, kelengkapan), dan penilaian digabungkan menjadi skor konsensus: aritmetika pembatalan kesalahan Condorcet, diterapkan pada kualitas alasan daripada hanya jumlah suara. Dan tidak seperti kotak suara, seluruh pohon argumen dan jejak audit mempertahankan mengapa kelompok memutuskan — sehingga keputusan dapat dijelaskan, ditinjau kembali, dan dipelajari. Marquis menyediakan matematika untuk mempercayai mayoritas; dua ratus empat puluh tahun kemudian, pekerjaan yang tersisa adalah memastikan penilaian mayoritas independen, terinformasi, dan tercatat.